https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/Kika

2025.12.22.00:20:59記

[2] 一辺の長さ $a$ の正方形 $\mbox{ABCD}$ において二辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CD}$ の上にそれぞれ点 $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ を $\mbox{BF}=\mbox{CG}=b$ となるようにとり，二線分 $\mbox{AF}$ ， $\mbox{BG}$ の交点を $\mbox{H}$ とする．またこの正方形の中心を $\mbox{O}$ ，辺 $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{E}$ とする．

(イ) 三角形 $\mbox{OEH}$ は二等辺三角形であることを証明せよ．

(ロ) 三角形 $\mbox{OEH}$ の面積を求めよ．

2025.12.29.16:29:17記

[解答]
(イ) $\triangle\mbox{ABF}\equiv\triangle\mbox{BCG}$ により
$\angle\mbox{ABH}=90^{\circ}-\angle\mbox{CBG}$ $=90^{\circ}-\angle\mbox{BAF}$ $=\angle\mbox{AFB}$
となるので $\triangle\mbox{ABF}\mbox{∽}\triangle\mbox{AHB}$ となり $\angle\mbox{AHB}=\angle\mbox{ABF}=90^{\circ}$ となる．
よって $\mbox{H}$ は $\mbox{AB}$ を直径とする円周，つまり $\mbox{E}$ を中心とする $\mbox{A}$ ， $\mbox{O}$ ， $\mbox{B}$ を通る円周上にある．つまり $\mbox{EO}=\mbox{EH}$ となり，三角形 $\mbox{OEH}$ は二等辺三角形である．

(ロ) $\mbox{AF}=c$ とおくと $c=\sqrt{a^2+b^2}$ であり， $\triangle\mbox{HBF}$ の $\mbox{BF}$ を底辺とするときの高さ $h$ は $\mbox{BF}:h=c:\dfrac{ab}{c}$ により $h=\dfrac{ab^2}{c^2}$ となる．よって三角形 $\mbox{OEH}$ の面積は
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{ab^2}{c^2}\right)$ $=\dfrac{a^2(a^2-b^2)}{8(a^2+b^2)}$
となる．