https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/Kaiseki_I

2025.12.22.00:20:59記

[3] $a$ ， $b$ ， $c$ は $0$ でない実数であり，
$\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{bc}}$ $=\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{ca}}$ $\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(c+a-b)}{ab}}$ $=k$
であるとき， $k$ の値を求めよ．また， $k$ がこれらの値をとる場合に， $a$ ， $b$ ， $c$ の間に成り立つおのおのの関係式を，なるべく簡単な形で表せ．

2025.12.29.01:03:57記

[解答]
$k=0$ と仮定すると， $a+b=c$ ， $b+c=a$ ， $c+a=b$ のうち少なくとも2つが成立する．
$a+b=c$ ， $b+c=a$ の2つが成立するとき， $a=c，b=0$ となり仮定に反する．他の場合も同様である．よって $k\neq 0$ である．

このとき， $\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{bc}}$ $=\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{ca}}$ から
$\dfrac{c+a-b}{b}$ $=\dfrac{a+b-c}{a}$
となることが必要である（根号内が負になるかも知れない）．

同様にして $\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}$ が成立し，よって
$\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}$
が成立する．このとき根号内は正となるのでこれは必要十分条件となる．

この式の全ての辺に $1$ を足すことにより，
$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}$
が成立する．この値を $K$ とおき，分母を払って足し合わせると
$2(a+b+c)=K(a+b+c)$ となるので， $a+b+c=0$ または $K=2$ （ $a=b=c$ ）が成立する．

(i) $a=b=c$ のとき： $k=1$ となる．

(ii) $a+b+c=0$ のとき： $k=\sqrt{(-2)(-2)}=2$ となる．

$K=2$ のとき $\dfrac{a+b}{2}=c$ ， $\dfrac{b+c}{2}=a$ ， $\dfrac{c+a}{2}=b$ から， $c$ は $a$ と $b$ の平均， $a$ は $b$ と $c$ の平均， $b$ は $c$ と $a$ の平均となり $a=b=c$ となります．