https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/Kaiseki_I

2025.12.22.00:20:59記

[1] 次の四つの数の大小の順を示し，その理由を明かにせよ.
$\dfrac{7}{9}$ ， $\sqrt{14}-3$ ， $\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$ ， $\log_{10} 6$ ．

2025.12.29.00:36:12記
どの数も $1$ 未満であり，近似値がすぐにわかるのは $\dfrac{7}{9}=0.777\cdots$ ， $\log_{10}6=0.778\cdots$ ぐらいです．

[解答]
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$ は単調増加な関数 $f(x)=x^3-\dfrac{1}{3}$ に対して $f(x)=0$ の正の解となる． $f(0.7)=0.363-\dfrac{1}{3}\gt 0$ により $\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\lt 0.7$ である．

$\sqrt{14}-3=\dfrac{5}{\sqrt{14}+3}\gt\dfrac{5}{7}\gt 0.7$ ， $\sqrt{14}-3=\dfrac{5}{\sqrt{14}+3}\lt\dfrac{10}{13}\lt\dfrac{7}{9}$ により $0.7\lt\sqrt{14}-3\lt\dfrac{7}{9}$ である．

$6^9=10077696\gt 10^7$ より $\log_{10} 6\gt \dfrac{7}{9}$ である．

よって $\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\lt\sqrt{14}-3\lt\dfrac{7}{9}\lt\log_{10} 6$ である．

$0.3010\lt \log_{10} 2\lt 0.3011$ ， $0.4771\lt \log_{10} 2\lt 0.4772$ により $\dfrac{7}{9}\lt 0.7781\lt\log_{10}6$ と示しても問題ないように思いますが，実際のことはわかりません．真面目にやるなら

$\dfrac{7}{9}-(\sqrt{14}-3)=\dfrac{34-9\sqrt{14}}{9}=\dfrac{\sqrt{1156}-\sqrt{1134}}{9}\gt 0$

$(\sqrt{14}-3)^3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{123\sqrt{14}-460}{3}=\dfrac{\sqrt{211806}-\sqrt{211600}}{3}\gt 0$

という計算になるでしょう．