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1959年(昭和34年)京都大学-数学【解析ＩＩ】(旧課程)[2]

2025.12.22.00:20:59記

[2] $p$ は $1$ より大きくないとする．
(イ) 三次函数 $f(x)=x^3+3x^2+3px+2$ の極大値を与えるような $x$ の値 $x_0$ を求めよ．

(ロ) $-3\leqq x_0\leqq 0$ の条件のもとで，上の極大値が最も大きくなるような $p$ の値を求めよ．

2025.12.29.01:44:05記

[解答]
(イ) $\dfrac{f'(x)}{3}=(x+1)^2+p-1=0$ の小さい解にて極大値となるので $x_0=-1-\sqrt{1-p}$ である．

(ロ) $-3\leqq x_0\leqq 0$ により $-3\leqq p\lt 1$ である． $\dfrac{f'(x_0)}{3}=(x_0+1)^2+p-1=0$ のとき
$f(x_0)=(x_0+1)^3+3(p-1)x_0+1$ $=(1-p)(x_0+1)+3(p-1)x_0+1$ $=2(p-1)x_0+2-p$ $=2(p-1)(-1-\sqrt{1-p})+2-p$ $=2(1-p)^{3/2}+4-3p$
となる．これを $g(p)$ とおくと $g'(p)=-3\sqrt{1-p}-3\lt 0$ であるから， $g(p)$ はこの範囲で単調減少．

よって $p=-3$ のときに最大値 $29$ をとる．

$1-p=t$ とおくと $0\lt t\leqq 2$ で $g(p)=2t^3+3t+1$ は $t\gt 0$ で単調増加だから $t=2$ ，つまり $p=-3$ で最大値をとる，としても良いでしょう．

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