https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1959/Kaiseki_II

2025.12.22.00:20:59記

[1] 同じ円に内接する正 $n$ 辺形と正 $3n$ 辺形との面積をそれぞれ $s，S$ とする．不等式 $\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}S\gt s\gt \dfrac{2}{3}S$ が成立するのは， $n$ がどんな値をとるときか．

2025.12.29.01:20:12記

[解答]
$s=\dfrac{n}{2}\sin\dfrac{2\pi}{n}$ ， $S=\dfrac{3n}{2}\sin\dfrac{2\pi}{3n}$ であるから $\theta=\dfrac{2\pi}{3n}$ とおくと，題意から $n\geqq 3$ であるから， $0\lt\theta\lt\dfrac{2\pi}{9}\lt\dfrac{\pi}{2}$ となり $\theta$ は鋭角である．

$1+\sqrt{3}\gt \dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}=3-4\sin^3\theta \gt 2$ ，

つまり $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \lt \sin\theta \lt \dfrac{1}{2}$ となり， $\dfrac{\pi}{12}\lt\theta=\dfrac{2\pi}{3n}\lt\dfrac{\pi}{6}$ から $4\lt n\lt 8$ となり， $n=5，6，7$ となる．