1958年(昭和33年)京都大学-数学

（2科目150分．200点満点（工学部は2倍した400点満点））
【解析Ｉ】

[1]（15点×2） 軸の正の向きが上に向いているとする．

(1) 放物線 が二点 ， より下を通り，点 より上を通ることがあるか．

(2) 放物線 が二点 ， より下を通るならば，その二点を結ぶ線分はこの放物線と交わらないことを示せ．

[2]（30点）次の表を利用して方程式 の負根を小数第 位まで求めよ．小数第 位は四捨五入せよ．

[3]（40点）
を満足する の範囲を求めよ．

【解析ＩＩ】

[1]（30点） のグラフを 共に絶対値 以下の範囲で描け．

[2]（15点×2）(1)
から を の函数として表せ．

(2) (1)のグラフと直線 と 軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

[3]（20点×2）(1) 曲線 上の点で点 に最も近い点を求めよ．

(2) 最も近い点を とするとき，点 における曲線の接線と直線 とは直交することを示せ．ただし とする．

【幾何】
[1]（15点×2）四辺形 の二辺 ， は平行でないとする．対角線 上の任意の点 から ， へそれぞれ平行線 ， を引き ， との交点をそれぞれ ， とするとき，

(1) の面積は積 に比例することを示せ．

(2) の面積が最大となるような，線分 上の点 を求めよ．

[2]（30点）球が水平面の上にあってこれに接している．この球の最も高い点 と水平面上の任意の二点 ， とを結ぶ直線が球面と交わる点をそれぞれ ， とすれば， は に相似であることを証明せよ．

[3]（10点，20点，10点）(1) 一直線 から距離 （）の点 がある．点 から距離 （）の点 をとれば， と との距離 は

を満たすことを示せ．

(2) 中心 ，半径 の円が凸五辺形の中にあって唯一辺 とだけ接している． よりも大きい円がこの凸五辺形の中に書けることを証明せよ．［ から距離 （ は小さい）の点 を中心とし，一辺 に接する円を考えよ．］

(3) 凸五辺形の中に含まれる最大の円が，二辺とだけ接する場合がある．どんな五辺形であるか．図示せよ．