https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1958/Kika

2025.12.21.22:44:58記

[2] 球が水平面の上にあってこれに接している．この球の最も高い点 $\mbox{A}$ と水平面上の任意の二点 $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ とを結ぶ直線が球面と交わる点をそれぞれ $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ とすれば， $\triangle\mbox{AED}$ は $\triangle\mbox{ABC}$ に相似であることを証明せよ．

本問のテーマ

立体射影

2025.12.27.23:52:17記

[大人の解答]
$\mbox{A}(0，0，0)$ とし，球面を $x^2+y^2+\left(z+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ ，水平面を $z=-1$ とおいても一般性を失わない．単位球 $x^2+y^2+z^2=1$ に関する反転を $f$ で表すと $f(\mbox{B})=\mbox{D}$ ， $f(\mbox{C})=\mbox{E}$ であるから $\mbox{AB}\cdot\mbox{AD}=1$ ， $\mbox{AC}\cdot\mbox{AE}=1$ が成立する．
よって $\mbox{AB}:\mbox{AC}=\mbox{AE}:\mbox{AD}$ となり， $\angle\mbox{BAC}=\angle\mbox{EAD}$ とから $\triangle\mbox{AED}$ は $\triangle\mbox{ABC}$ に相似である．

[解答]
$\mbox{A}$ を通る球の直径の他端を $\mbox{T}$ とおくと，二つの直角三角形 $\triangle\mbox{TAD}$ と $\triangle\mbox{BAT}$ は直角でない角 $\angle\mbox{TAD}=\angle\mbox{BAT}$ を共有するので相似となり， $\mbox{AB}\cdot\mbox{AD}=\mbox{AT}^2$ が成立する．同様にして $\mbox{AC}\cdot\mbox{AE}=\mbox{AT}^2$ も成立する．
よって $\mbox{AB}:\mbox{AC}=\mbox{AE}:\mbox{AD}$ となり， $\angle\mbox{BAC}=\angle\mbox{EAD}$ とから $\triangle\mbox{AED}$ は $\triangle\mbox{ABC}$ に相似である．