https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1958/Kika

2025.12.21.22:44:58記

[1] 四辺形 $\mbox{ABCD}$ の二辺 $\mbox{AD}$ ， $\mbox{CB}$ は平行でないとする．対角線 $\mbox{AC}$ 上の任意の点 $\mbox{P}$ から $\mbox{AD}$ ， $\mbox{CB}$ へそれぞれ平行線 $\mbox{PQ}$ ， $\mbox{PR}$ を引き $\mbox{CD}$ ， $\mbox{AB}$ との交点をそれぞれ $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とするとき，

(1) $\triangle\mbox{PQR}$ の面積は積 $\mbox{AP}\cdot\mbox{PC}$ に比例することを示せ．

(2) $\triangle\mbox{PQR}$ の面積が最大となるような，線分 $\mbox{AC}$ 上の点 $\mbox{P}$ を求めよ．

2025.12.27.23:34:41記
ちょっと問題文がわかりにくいです．

[解答]
(1) $\angle\mbox{RPQ}=\theta$ とおくと $\theta$ は一定である． $\mbox{AP}:\mbox{PC}$ $=t:(1-t)$ とおくと
$\triangle\mbox{PQR}=\dfrac{1}{2}\mbox{PQ}\cdot\mbox{PR}\cdot\sin\theta$ $=\dfrac{t(1-t)}{2}\mbox{AD}\cdot\mbox{BC}\cdot\sin\theta$ $=\dfrac{\mbox{AP}\cdot\mbox{PC}}{2\mbox{AC}^2}\mbox{AD}\cdot\mbox{BC}\cdot\sin\theta$
であるから，これは積 $\mbox{AP}\cdot\mbox{PC}$ に比例する．

(2) $t$ についての二次関数 $t(1-t)$ （ $0\leqq t\leqq 1$ ）は $t=\dfrac{1}{2}$ のときに最大となるので $\triangle\mbox{PQR}$ の面積は， $\mbox{P}$ が線分 $\mbox{AC}$ の中点のときに最大となる．