https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1958/Kaiseki_I

2025.12.21.22:44:58記

[3] $x+2\gt\sqrt{4x+7}\gt x-1$
を満足する $x$ の範囲を求めよ．

2025.12.25.00:04:13記

[解答]
根号の中が非負であることから $x\geqq -\dfrac{7}{4}$ …①である．このとき，
$x+2\gt\sqrt{4x+7}$
は両辺非負であるから $(x+2)^2\gt 4x+7$ ，つまり $x^2\gt 3$ …②となる．

また①のもとで $\sqrt{4x+7}\gt x-1$ は， $x\lt 1$ のとき成立し， $x\geqq 1$ のときは $4x+7\gt (x-1)^2$ ，つまり $x^2-6x-6\lt 0$ から $3-\sqrt{15}\lt x\lt 3+\sqrt{15}$ となるので $x\lt 3+\sqrt{15}$ …③となる．

よって①〜③から $-\dfrac{7}{4}\leqq x\lt -\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}\lt x\lt 3+\sqrt{15}$ となる．

[解答]
$y=x+2$ と $y=\sqrt{4x+7}$ の交点の $x$ 座標は $(x+2)^2=4x+7$ から $x^2=3$ を満たし， $x\geqq -\dfrac{7}{4}$ により $x=\pm\sqrt{3}$ である．

$y=x-1$ と $y=\sqrt{4x+7}$ の交点の $x$ 座標は $(x-1)^2=4x+7$ から $x^2-6x-6=0$ を満たし， $x\geqq -\dfrac{7}{4}$ により $x=3+\sqrt{5}$ である．

この情報に基づいて放物線の一部 $y=\sqrt{4x+7}$ と平行二直線 $y=x+2$ ， $y=x-2$ を描いてグラフの上下関係を見れば $-\dfrac{7}{4}\leqq x\lt -\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}\lt x\lt 3+\sqrt{15}$ となる．

$y=x-1$ と $y=\sqrt{4x+7}$ の交点の $x$