https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1958/Kaiseki_I

2025.12.21.22:44:58記

[2] 次の表を利用して方程式 $10^x=x^{10}$ の負根を小数第 $2$ 位まで求めよ．小数第 $3$ 位は四捨五入せよ．

$x$	$0.6$	$0.7$	$0.8$	$0.9$
$-\dfrac{x}{10}$	$-0.06$	$-0.07$	$-0.08$	$-0.09$
$\log_{10} x$	$\bar{1}.7782$	$\bar{1}.8451$	$\bar{1}.9031$	$\bar{1}.9542$

2025.12.24.23:44:43記
$\log_{10} 0.6=\bar{1}.7782$ とは， $\log_{10} 0.6=-1+0.7782$ という意味です．

$x=10$ は解の一つですが他にも解があるというお話です．表が与えられていることからホーナーの方法を用いれば良いことがわかります．そして表の値から負の解は $-0.9\lt x\lt 0.6$ の範囲にあるはずで，ホーナーの方法を用いるためには， $10^x=x^{10}$ と同値な条件を $f(x)=0$ の形で表して， $x\lt 0$ で単調であることを示し，中間値の定理から範囲を絞ります．

表が小数第 $1$ 位しか与えられていないのに，小数第 $3$ 位を四捨五入して小数第 $2$ 位を求めるという精密な計算は不可能ですが，当時，表は線形補間をして近似値を求めるという方法を教えているので，線形補間をした近似値の小数第 $3$ 位を四捨五入して小数第 $2$ 位まで求めることになります．

なお，そのまま対数をとって $x=10\log_{10} x$ とすると $x\gt 0$ の場合となってしまうので不適です． $x\lt 0$ ですから $x=10\log_{10} (-x)$ となります．こうなると少しややこしいので $t=-x$ と置きましょう．

[解答]
$t=-x$ とおくと $t\gt 0$ で $f(t)=\log_{10} t+\dfrac{t}{10}=0$ が成立する． $f(t)$ は $t\gt 0$ で単調増加な $2$ の関数の和であるから単調増加であり， $f(0.8)=-1+0.9031+0.08=-0.0169\lt 0$ ， $f(0.9)=-1+0.9542+0.09=0.0442\gt 0$ であることから， $f(t)=0$ なる $t$ の値は線形補間により
$0.8+0.1\times\dfrac{0.0169}{0.0169+0.0442}$ $=0.8+0.1\times\dfrac{169}{611}$ $=0.8+0.1\times0.276\cdots$ $=0.8276\cdots$
となるので，小数第 $3$ 位を四捨五入して $t=0.83$ となり， $x=-0.83$ となる．

正しく小数第 $3$ 位を四捨五入して $t=0.83$ となるには線形近似との誤差が $0.0025$ 以内であることを示せば十分ですが，テイラー展開などで評価する際に $\log_{e} 10$ の値が必要となり，これは問題文に与えられていませんので，誤差評価をして正しく求めるという方針は求められていないことがわかります．