https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1958/Kaiseki_I

2025.12.21.22:44:58記

[1] $y$ 軸の正の向きが上に向いているとする．

(1) 放物線 $y=x^2+bx+c$ が二点 $(0，1)$ ， $(3，3)$ より下を通り，点 $(1，0)$ より上を通ることがあるか．

(2) 放物線 $y=x^2+bx+c$ が二点 $(0，3)$ ， $(3，3)$ より下を通るならば，その二点を結ぶ線分はこの放物線と交わらないことを示せ．

2025.12.24.15:50:16記
(2) 放物線 $y=x^2+bx+c$ は下に凸だから交わらない，という答案は○か×か微妙です（放物線が凸であることを示すこととほぼ同じ問題なので）．

[解答]
$f(x)=x^2+bx+c$ とおくと $f(0)=c$ ， $f(3)=9+3b+c$ であるから， $c=f(0)$ ， $b=\dfrac{f(3)-f(0)-9}{3}$ が成立し，よって $f(x)=x^2+ \dfrac{f(3)-f(0)-9}{3} x+f(0)$ が成立する．

(1) $f(1)=\dfrac{f(3)+2f(0)-6}{3}\lt\dfrac{3+2-6}{3}=-\dfrac{1}{3}\lt 0$ であるから点 $(1，0)$ より上を通ることはない．

(2) $0\leqq x\leqq 3$ で $f(x)=x^2+ \dfrac{f(3)-f(0)-9}{3} x+f(0)$ $=x^2-3x+\dfrac{f(3)x+f(0)(3-x)}{3}$
$\lt x^2-3x+\dfrac{3x+3(3-x)}{3}$ $=x^2-3x+3$ $=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+3-\dfrac{9}{4}\lt 3$ であるから，放物線は $0\leqq x\leqq 3$ において二点 $(0，3)$ ， $(3，3)$ を結ぶ線分より下にあり，この放物線と交わらない．

(2)において $0\leqq x\leqq 3$ で $x^2-3x+3=-x(3-x)+3\lt 3$ となることはほぼ明らかです．

[解答]
(1) 直線 $y=bx+c$ が二点 $(0，1)$ ， $(3，-6)$ より下を通り，点 $(1，-1)$ より上を通ることがあるか，という問題と同じである．二点 $(0，1)$ ， $(3，-6)$ を通る直線 $y=-\dfrac{7}{3}x+1$ よりも点 $(1，-1)$ は上にあるので，そのようなことは起きない．

(2) 直線 $y=(b+3)x+c-3$ が二点 $(0，0)$ ， $(3，0)$ より下を通るならば，この二点を結ぶ $x^2$ の係数が $-1$ の放物線 $y=x(3-x)$ とこの直線は $0\leqq x\leqq 3$ で交わらないことを示す問題と同じである．この範囲で $x(3-x)\geqq 0$ であるから，放物線は $0\leqq x\leqq 3$ で $x$ 軸よりも上にあるので，直線 $y=(b+3)x+c-3$ が $0\leqq x\leqq 3$ で $x$ 軸よりも下にあるならば，この範囲で $x$ 軸よりも上にある放物線とは交わらない．