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1958-02-10

1958年(昭和33年)京都大学-数学(解析ＩＩ)[3]

2025.12.21.22:44:58記

[3](1) 曲線 $y=x^2$ 上の点で点 $\mbox{A}(0，a)$ に最も近い点を求めよ．

(2) 最も近い点を $\mbox{B}$ とするとき，点 $\mbox{B}$ における曲線の接線と直線 $\mbox{AB}$ とは直交することを示せ．ただし $a\neq 0$ とする．

本問のテーマ

放物線の曲率半径
$y=ax^2$ の法線の $y$ 切片

2025.12.25.00:43:20記
$y=x^2$ の原点における曲率半径は $\dfrac{1}{2}$ だから， $a=\dfrac{1}{2}$ が場合分けの境界になります．

本問は最小のときに直交することを示すのですから，(1)を「 $y=x^2$ 上の点における法線が $\mbox{A}$ を通るとき…」という流れで示してはいけません．

なお，(2)では $y=ax^2$ の $(t，at^2)$ における法線の $y$ 切片が $at^2+\dfrac{1}{2a}$ と $t$ の値によらず曲率半径だけ接点の $y$ 座標よりも大きくなることを

[解答]
(1) $y=x^2$ 上の点を $\mbox{P}(t，t^2)$ とおくと
$\mbox{AP}^2$ $=t^2+(t^2-a)^2$ $=\left(t^2-\dfrac{2a-1}{2}\right)^2+\dfrac{4a-1}{4}$
であるから，

(i) $a\gt\dfrac{1}{2}$ のとき $t=\pm\sqrt{\dfrac{2a-1}{2}}$ のときに $\mbox{AP}^2$ は最小となる．よって $\mbox{B}\left(\pm\sqrt{\dfrac{2a-1}{2}}，\dfrac{2a-1}{2}\right)$ となる．

(ii) $a\leqq\dfrac{1}{2}$ （ $a\neq 0$ ）のとき $t=0$ で最小となる．よって $\mbox{B}(0，0)$ となる．

(2) $y=x^2$ 上の点 $\mbox{P}$ における法線の方程式は
$y=-\dfrac{1}{2t}(x-t)+t^2=-\dfrac{1}{2t}x+t^2+\dfrac{1}{2}$
である．

(i) $a\gt\dfrac{1}{2}$ のとき $\mbox{B}$ における法線の $y$ 切片は
$\left(\pm\sqrt{\dfrac{2a-1}{2}}\right)^2+\dfrac{1}{2}=a$ と $\mbox{A}$ を通るので
点 $\mbox{B}$ における曲線の接線と直線 $\mbox{AB}$ とは直交する

(ii) $a\leqq\dfrac{1}{2}$ （ $a\neq 0$ ）のとき $\mbox{B}$ における法線は $y$ 軸であるから点 $\mbox{B}$ における曲線の接線と直線 $\mbox{AB}$ とは直交する．

よって示された．

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