https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1958/Kaiseki_II

2025.12.21.22:44:58記

[2]（15点×2）(1) $y=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2+1}}$
から $x$ を $y$ の函数として表せ．

(2) (1)のグラフと直線 $x-y-1=0$ と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

2025.12.25.00:24:40記

[解答]
(1) $a=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2+1}}，b=\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2+1}}$ とおくと $ab=\sqrt[3]{-1}=-1$ ， $a^3+b^3=2x$ であるから $2x=(a+b)^3-3ab(a+b)=y^3+3y$ となり， $x=\dfrac{y^3+3y}{2}$ となる．

(2) $x=y+1$ と $x=\dfrac{y^3+3y}{2}$ 交点の $y$ 座標は $y^3+3y-2(y+1)=(y-1)(y^2+y+1)=0$ から $y=1$ であり，この範囲で $\dfrac{y^3+3y}{2}\leqq y+1$ であるから求める面積は
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{-y^3-y+2}{2}\,dy$ $=-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{8}$
となる．