1957年(昭和32年)京都大学-数学

（2科目150分．200点満点（工学部は2倍した400点満点））
【解析Ｉ】

[1]（20点） は でない実数とする．
ならば
であることを示せ．

[2]（40点） をいずれも から までの数字とする．六けたの整数 を適当に定めて，その二倍が となるようにせよ．ここに は，通常の十進法による記法であって，整数

を表わすとし， についても同様で あるとする．

[3]（40点） に関する二次方程式

がある．その二根のうちただ一つが と の間（ および を含める）にあるために のとるべき実数値の範囲を求めよ．

【解析ＩＩ】

[1]（20点） のとき，つぎの式の極限値を求めよ．

[2]（40点）円形のブリキ板から一つの扇形部分を切り去り，残部を曲げて直円錐形の容器を作り，その容積を最大ならしめたい．切り去るべき扇形部分の中心角はほぼ何度であるか．（度未満は切り捨てて答えよ）

[3]（40点）曲線 と，原点に関してこれと対称な曲線との略図をえがき，それらが二点だけで交わることを示し，両曲線で囲まれた有限部分の面積を計算せよ．

【幾何】
[1]（20点）円周上の二点 ， で定まる二つの弧のいずれか一方の上に四点 ，，， をとって ならしめ，直線 ，，，，，， を引く． と ， と ， と ， と ， と ， と がいずれも相交わるとし，それら各二直線の交点をそれぞれ ，，，，， とする．このとき五点 ，，，，；，，，， はそれぞれ同一円周上にあることを示せ．

[2]（40点）三角形 の三辺 ，， の上にそれぞれ点 ，， があって，


である．このとき比 の値を計算せよ．

[3]（40点）二点 ， で交わる二円において， を通る一直線を引き，その二円と交わる点を ， として ならしめる．， においてそれぞれの円に接線を引きその交点を とするとき，つぎのことを証明 せよ．

(1) 四点 ，，， は同一円周上にある．

(2)