https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1957/Kika

2025.12.17.17:20:17記

[3] 二点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ で交わる二円において， $\mbox{A}$ を通る一直線を引き，その二円と交わる点を $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ として $\mbox{AP}=\mbox{AQ}$ ならしめる． $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ においてそれぞれの円に接線を引きその交点を $\mbox{C}$ とするとき，つぎのことを証明せよ．

(1) 四点 $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は同一円周上にある．

(2) $\mbox{AP}^2=\mbox{AB}\cdot \mbox{AC}$

2025.12.17.19:49:51記
(1)では $\mbox{AP}=\mbox{AQ}$ という条件を使いません．(2)で使います．

[解答]
(1) 接弦定理により $\angle\mbox{CPA}=\angle\mbox{PBA}$ ， $\angle\mbox{CQA}=\angle\mbox{QBA}$ であるから，
$\angle\mbox{PCQ}+\angle\mbox{QBP}$ $=\angle\mbox{PCQ}+\angle\mbox{QBA}+\angle\mbox{PBA}$ $=\angle\mbox{PCQ}+\angle\mbox{CQA}+\angle\mbox{PCQ}$ $=(\triangle\mbox{PCQ}の内角の和)$ $=180^{\circ}$
となり，四点 $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は同一円周上にある．

(2)(i) 三点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{P}$ を通る円と三点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{Q}$ を通る円が同じ大きさのとき：
$\mbox{C}$ は直線 $\mbox{AB}$ 上にあるので方羃の定理から $\mbox{AP}^2=\mbox{AP}\cdot\mbox{AQ}=\mbox{AB}\cdot\mbox{AC}$
が成立する．

(ii) (i)でないとき，三点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{P}$ を通る円が三点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{Q}$ を通る円より小さいとしても一般性を失わない：
このとき $\mbox{AB}$ と(1)の円の $\mbox{B}$ 以外の交点を $\mbox{D}$ とすると(1)の円上に $\mbox{P}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{Q}$ の順番に並び， $\mbox{D}$ は劣弧 $\mbox{CQ}$ 上にある．

弧 $\mbox{DQ}$ の円周角から $\angle\mbox{DCQ}=\angle\mbox{DBQ}$ となり，接弦定理から $\angle\mbox{DBQ}=\angle\mbox{CQA}$ （(1)で用いた）となるので $\angle\mbox{DCQ}=\angle\mbox{CQA}$ となり， $\mbox{CD}\parallel\mbox{PQ}$ となる．

よって四角形 $\mbox{CDQP}$ は $\mbox{CD}\parallel\mbox{PQ}$ の等脚台形となり， $\mbox{A}$ が $\mbox{PQ}$ の中点であることから $\mbox{AC}=\mbox{AD}$ となる．

よって方羃の定理から $\mbox{AP}^2=\mbox{AP}\cdot\mbox{AQ}=\mbox{AB}\cdot\mbox{AD}=\mbox{AB}\cdot\mbox{AC}$
が成立する．

三点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{P}$ を通る円が三点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{Q}$ を通る円より大きいときは $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ を入れ換えることになります．