https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1957/Kaiseki_I

2025.12.17.17:20:17記

[3] $x$ に関する二次方程式
$x^2+(4a+1)x+a^2=0$
がある．その二根のうちただ一つが $0$ と $1$ の間（ $0$ および $1$ を含める）にあるために $a$ のとるべき実数値の範囲を求めよ．

2025.12.17.18:27:32記

[解答]
$f(x)=x^2+(4a+1)x+a^2$ とおく．

(i) $f(0)=0$ のとき， $a^2=0$ から $a=0$ で残りの解は $x=-1$ だから適する．

(ii) $f(1)=0$ のとき， $a^2+4a+2=0$ から $a=-2\pm\sqrt{2}$ で残りの解は $x=-4a-2=6\mp 4\sqrt{2}$ であるから， $a=-2-\sqrt{2}$ の場合のみ適する．

(iii) $f(0)\neq 0，f(1)\neq 0$ のとき， $f(0)f(1)=a^2(a^2+4a+2)\lt 0$ から $-2-\sqrt{2}\lt a\lt -2+\sqrt{2}$ の場合に適する．

以上から $a$ のとるべき実数値の範囲は $-2-\sqrt{2}\leqq a\lt -2+\sqrt{2}$ である．