https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1957/Kaiseki_I

2025.12.17.17:20:17記

[2] $a，b，c，d，e，f$ をいずれも $0$ から $9$ までの数字とする．六けたの整数 $abcdef$ を適当に定めて，その二倍が $cdefab$ となるようにせよ．ここに $abcdef$ は，通常の十進法による記法であって，整数
$10^5a+10^4b+10^3c +10^2d+10e+f$
を表わすとし， $cdefab$ についても同様であるとする．

2025.12.17.18:17:48記
とりあえず， $\dfrac{1}{7}$ を思い出して $abcdef=142857$ ， $285714$ ， $428571$ は答になることがわかります．
ともかく $ab$ と $cdef$ で分けてみましょう．

[解答]
$ab$ で表される2桁の自然数を $A$ ， $cdef$ で表される4桁の自然数を $B$ とおくと
$abcdef=10000A+B$ ， $cdefab=100B+A$
であるから， $100B+A=20000A+2B$ ，つまり $98B=19999A$ となり， $7$ で割って $14B=2857A$ が成立する．ここで $14$ と $2857$ は互いに素であるから $A=14K$ ， $B=2857K$ （ $K$ は整数）と書くことができる．ここで $A$ は2桁の自然数， $B$ は4桁の自然数であるから $K=1，2，3$ として求める6桁の自然数は
$142857$ ， $285714$ ， $428571$
となる．