https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1957/Kaiseki_I

2025.12.17.17:20:17記

[1] $x，y，z$ は $0$ でない実数とする．
$5^x=2^y=\sqrt{10^z}$ ならば $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{z}$
であることを示せ．

2025.12.17.18:06:18記
2025年(令和7年)京都大学-数学(文系)[1]問１ - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の数値違い．

[解答]
$5^{2x}=2^{2y}=2^z5^z$ から $2^z 5^{z-2x}=2^{z-2y}5^{z}=1$ なので
$2^{z^2} 5^{z(z-2x)}=2^{(z-2y)(z-2x)}5^{z(z-2x)}=1$
となり， $2^{z^2-(z-2y)(z-2x)}=1$ から
$z^2-(z-2y)(z-2x)=2(x+y)z-4xy=0$
が成立し， $xyz$ で割ることにより $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{z}$ である．

注）同じことであるが， $\log_2 5^x=\log_2 2^y=\log_2 10^{z/2}$ から， $x\log_2 5=y=\dfrac{z}{2}(1+\log_2 5)$ つまり
$y-x\log_2 5=z-2y+z\log_2 5=0$
が成立するので， $\log_2 5$ を消去すると
$zy+x(z-2y)=-2xy+yz+zx=0$
が得られ， $xyz$ で割ることにより $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{z}$ が得られる．

[別解]
$5^{2x}=2^{2y}=10^z=K$ とおくと $2x\log_{10} 5=2y\log_{10} 2=z=\log_{10} K$ である． $x，y，z$ は $0$ でない実数であるから $K\neq 1$ であり，
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{z}$ $=\dfrac{2\log_{10} 5}{\log_{10} K}+\dfrac{2\log_{10} 2}{\log_{10} K}-\dfrac{2}{\log_{10} K}$
$=\dfrac{2\log_{10} 5+2\log_{10} 2-2}{\log_{10} K}=0$
である．