https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1957/Kaiseki_II

2025.12.17.17:20:17記

[2] 円形のブリキ板から一つの扇形部分を切り去り，残部を曲げて直円錐形の容器を作り，その容積を最大ならしめたい．切り去るべき扇形部分の中心角はほぼ何度であるか．（度未満は切り捨てて答えよ）

2025.12.17.18:48:26記

[解答]
ブリキ板の半径を $r$ とし，切り去るべき扇形部分の中心角を $\theta$ とし，直円錐形の容器の底面の半径を $x$ とすると， $x=\dfrac{r(2\pi-\theta)}{2\pi}$ であり，容器の容積 $V$ は
$V=\dfrac{1}{3}\pi x^2\sqrt{r^2-x^2}=\dfrac{1}{3}\sqrt{x^4(r^2-x^2)}$
となる．AM-GM不等式により
$2r^2=x^2+x^2+2(r^2-x^2)\geqq 3\sqrt[3]{2x^4(r^2-x^2)}=3(3V)^{2/3}$
（等号成立は $x^2=2(r^2-x^2)$ ，つまり $x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}r$ ）
となるので $V$ は $\theta=2\pi\left(1-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)$ のときに最大となる．これを度数表記すると
$\theta=360^{\circ}\times \dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$ となり $\sqrt{6}=2.4494...$ から $3-\sqrt{6}=0.5505...$ から
$\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}=0.1835…$ となり $\theta=66.06…^{\circ}$ となる．

よって切り去るべき扇形部分の中心角はほぼ $66^{\circ}$ となる．