1956年(昭和31年)京都大学-数学

（2科目150分．200点満点（工学部は2倍した400点満点））
【解析Ｉ】

[1]（20点） を解け．

[2]（40点）実数 の間に という関係があるときは， の絶対値は同時に 以上（）であるか，または同時に 以下（）であることを証明せよ．

[3]（40点）周囲の長さ一定（）の長方形 がある． を一辺にもつ正三角形 をこの長方形から取り除いて五角形 を作る．この五角形の面積が最大となるとき辺 の長さはいくらか．

【解析ＩＩ】

[1]（20点）一辺の長さ の正方形 の辺 の延長（ を含まない方）上に となるように点 をとる．つぎに， を一辺にもつ正方形 をえがき，辺 の延長（ を含まない方）上に となるように点 をとる．このようにしてつぎつぎに ，，，…をとって作った線分
，，，…
の長さの和を求めよ．

[2]（40点）二曲線 ， の間にはさまれ， 軸に平行な線分の長さの最小値を求めよ．また，最小のとき，線分の両端における二曲線の接線は互に平行であることを示せ．

[3]（40点）点 を通る直線と放物線 とで囲まれた部分の面積が であるという．この直線の勾（こう）配を求めよ．

【幾何】

[1]（20点）， は定直線 の同じ側にある二定点とする．， から 上の点 にいたる距離の和 が最小となるような点 を求めよ．

[2]（40点）凸（とつ）四辺形 において辺 ， の中点をそれぞれ ， とする． ならば，この四辺形はどんな形であるか．

[3]（40点）円 外の一点 からこの円に引いた二接線の接点を ， とし，， の中点をそれぞれ ， とする．直線 上の任意の点 から円 に引いた接線の長さは に等しいことを証明せよ．