https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1956/Kaiseki_I

2025.12.17記

[3] 周囲の長さ一定（ $l$ ）の長方形 $\mbox{ABCD}$ がある． $\mbox{AD}$ を一辺にもつ正三角形 $\mbox{ADE}$ をこの長方形から取り除いて五角形 $\mbox{ABCDE}$ を作る．この五角形の面積が最大となるとき辺 $\mbox{BC}$ の長さはいくらか．

2025.12.17記

[解答]
$\mbox{AD}=x$ とおくと，五角形の面積は
$S=x\left(\dfrac{l}{2}-x\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ $=-\dfrac{4+\sqrt{3}}{4}x^2+\dfrac{l}{2}x$ $=-\dfrac{4+\sqrt{3}}{4}\left(x-\dfrac{4-\sqrt{3}}{13}l\right)^2+\dfrac{4+\sqrt{3}}{13}l^2$
であり，五角形となるためには $\dfrac{l}{2}-x\gt\dfrac{\sqrt{3}}{2} x$ ，つまり $x\lt (2-\sqrt{3})l$ でなければならない．
$(2-\sqrt{3})-\dfrac{4-\sqrt{3}}{13}=\dfrac{22-12\sqrt{3}}{13}=\dfrac{484-432}{13(22+12\sqrt{3})}\gt 0$
であるから， $x=\dfrac{4-\sqrt{3}}{13}l$ は $x\lt (2-\sqrt{3})l$ を満たすので， $S$ は $x=\dfrac{4-\sqrt{3}}{13}l$ のときに最大値 $\dfrac{4+\sqrt{3}}{13}l^2$ をとる．よってこの五角形の面積が最大となるとき辺 $\mbox{BC}$ の長さは $\dfrac{4-\sqrt{3}}{13}l$ である．