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1956年(昭和31年)京都大学-数学(解析Ｉ)[2]

2025.12.17記

[2] 実数 $x，y，z$ の間に $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ という関係があるときは， $x，y，z$ の絶対値は同時に $1$ 以上（ $\geqq 1$ ）であるか，または同時に $1$ 以下（ $\leqq 1$ ）であることを証明せよ．

2025.12.17.11:44:55記
二つの数が同符号ならば積が正と簡単ですが，三つの数が同符号となる条件は難しいので二つの数の問題として捉えます．

[解答]
$(x^2-1)(y^2-1)=x^2y^2-x^2-y^2+1$ $=x^2y^2-2xyz+z^2=(xy-z)^2\geqq 0$ ，
$(x^2-1)(z^2-1)=x^2z^2-x^2-z^2+1$ $=x^2z^2-2xyz+y^2=(xz-y)^2\geqq 0$
であるから，

「 $x^2-1\geqq 0$ かつ $y^2-1\geqq 0$ かつ $z^2-1\geqq 0$ 」または「 $x^2-1\leqq 0$ かつ $y^2-1\leqq 0$ かつ $z^2-1\leqq 0$ 」

つまり

「 $|x|\geqq 1$ かつ $|y|\geqq 1$ かつ $|z|\geqq 1$ 」または「 $|x|\leqq 1$ かつ $|y|\leqq 1$ かつ $|z|\leqq 1$ 」

が成立するので $x，y，z$ の絶対値は同時に $1$ 以上（ $\geqq 1$ ）であるか，または同時に $1$ 以下（ $\leqq 1$ ）である．

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