https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1956/Kaiseki_II

2025.12.17記

[2] 二曲線 $y=2x^4-7x^2+7$ ， $y=-2x^4+2x-3$ の間にはさまれ， $y$ 軸に平行な線分の長さの最小値を求めよ．また，最小のとき，線分の両端における二曲線の接線は互に平行であることを示せ．

2025.12.17記
微分可能な函数の $y$ 座標の差が最小のとき，線分の両端における二曲線の接線が互に平行となることは $(f(x)-g(x))'=0$ のときに $f'(x)=g'(x)$ となることから明らかです．真面目のやろうとすると

$f(x)=2x^4-7x^2+7$ ， $g(x)=-2x^4+2x-3$ とおくと， $f(x)-g(x)=4x^4-7x^2-2x+10$ であり，これを $h(x)$ とおくと
$h'(x)=2(x-1)(8x^2+8x+1)$ $=16\left(x+\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\right)\left(x+\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\right)(x-1)$
となるので，…

と書いたところで手が止まります． $x=-\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{4}$ における $h(x)$ の値を計算するのは， $h(x)$ を $x^2+x+\dfrac{1}{8}$ で割った余りを考えれば比較的楽に計算できますが，少々面倒です． $x=1$ で最小になると予測して話を進めることにしましょう．そのために $h(x)$ を組立除法により $x-1$ の多項式として表現しようとします．

[解答]
$f(x)=2x^4-7x^2+7$ ， $g(x)=-2x^4+2x-3$ とおくと， $f(x)-g(x)=4x^4-7x^2-2x+10$ であり，これを $h(x)$ とおくと
$h(x)=4(x-1)^4+16(x-1)^3+17(x-1)^2+5$ $=4(x-1)^4+16(x-1)^3+16(x-1)^2+(x-1)^2+5$ $=4(x-1)^2(x+1)^2+(x-1)^2+5$ $\geqq 5$
（等号成立は $x=1$ ）
であるから，求める長さ $|h(x)|$ は $x=1$ のときに最小値 $5$ をとる．このとき $f'(1)=g'(1)=-6$ であるから線分の両端における二曲線の接線は互に平行である．