https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1956/Kaiseki_II

2025.12.17記

[1] 一辺の長さ $a$ の正方形 $\mbox{ABCD}$ の辺 $\mbox{AB}$ の延長（ $\mbox{A}$ を含まない方）上に $\mbox{AB}_1=\mbox{AC}$ となるように点 $\mbox{B}_1$ をとる．つぎに， $\mbox{BB}_1$ を一辺にもつ正方形 $\mbox{BB}_1\mbox{C}_1\mbox{D}_1$ をえがき，辺 $\mbox{BB}_1$ の延長（ $\mbox{B}$ を含まない方）上に $\mbox{BB}_2=\mbox{BC}_1$ となるように点 $\mbox{B}_2$ をとる．このようにしてつぎつぎに $\mbox{B}_1$ ， $\mbox{B}_2$ ， $\mbox{B}_3$ ，…をとって作った線分
$\mbox{AB}$ ， $\mbox{BB}_1$ ， $\mbox{B}_1\mbox{B}_2$ ，…
の長さの和を求めよ．

2025.12.17記

[解答]
正方形の一辺の長さは初項 $a$ ，公比 $\sqrt{2}-1$ の等比数列となるので，
$\mbox{AB}$ ， $\mbox{BB}_1$ ， $\mbox{B}_1\mbox{B}_2$ ，…， $\mbox{B}_{n-1}\mbox{B}_n$
の長さの和は $\dfrac{(\sqrt{2}-1)^{n+1}a-a}{(\sqrt{2}-1)-1}$ となる．よって求める極限は
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(\sqrt{2}-1)^{n+1}a-a}{(\sqrt{2}-1)-1}$ $=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}a$
となる．