https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1955/Kika

2025.12.15記

[3] 縦横それぞれ $10\mbox{cm}$ ， $20\mbox{cm}$ の長方形を底面とし，側稜が底面に垂直な四角柱がある．これを底面の一頂点を通る平面で切ったとき，切り口が菱（ひし）形で，底面から最も高い頂点が $30\mbox{cm}$ の高さにあったという．この菱形の対角線の長さの比を求めよ．

2025.12.16記

[解答]
底面の $4$ 点を $\mbox{AB}=20\mbox{cm}$ ， $\mbox{AD}=10\mbox{cm}$ の長方形 $\mbox{ABCD}$ とし， $\mbox{A}$ を通る平面での切り口について考え，この平面が $\mbox{B}$ の上 $x\mbox{cm}$ ， $\mbox{C}$ の上 $30\mbox{cm}$ ， $\mbox{D}$ の上 $y\mbox{cm}$ で交わるとすると，菱形の対角線の交点が互いを2等分することから
$x+y=10+20=30$ が成立する．また菱形に一辺の長さから $20^2+x^2=10^2+y^2$ から $x-y=\dfrac{300}{x+y}=10$ が成立し，よって $x=20$ ， $y=10$ となる．

長方形 $\mbox{ABCD}$ の対角線の長さは $\sqrt{500}$ であるから，菱形の対角線の長さの比は $\sqrt{500+(x-y)^2}:\sqrt{500+30^2}$ $=\sqrt{5+1}:\sqrt{5+9}$ $=\sqrt{3}:\sqrt{7}$ となる．