https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1955/Kika

2025.12.15記

[2] 円周上の任意の点 $\mbox{P}$ において接線を引き，定直径 $\mbox{AB}$ の延長との交点を $\mbox{C}$ とする． $\angle\mbox{ACP}$ の二等分線と直線 $\mbox{AP}$ とは常に定角をなすことを証明せよ．

2025.12.16記

[解答]
$0^{\circ}\lt \angle\mbox{PAB}\lt 45^{\circ}$ としても一般性を失わない
( $\angle\mbox{PAB}=0^{\circ}$ のときは $\mbox{P}=\mbox{C}$ となり $\angle\mbox{ACP}$ が定まらず， $\angle\mbox{PAB}=45^{\circ}$ のときは $\mbox{C}$ が定まらず， $45^{\circ}\lt \angle\mbox{PAB}\lt 90^{\circ}$ のときは $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ を入れ換えれば良く，( $\angle\mbox{PAB}=90^{\circ}$ のときは $\mbox{A}=\mbox{P}=\mbox{C}$ となり $\angle\mbox{ACP}$ が定まらない)．

円の中心を $\mbox{O}$ とし， $\angle\mbox{ACP}$ の二等分線と $\mbox{AP}$ の交点を $\mbox{D}$ とすると，
$\angle\mbox{PDC}$ $=\angle\mbox{DAC}+\angle\mbox{DCA}$ $=\dfrac{1}{2}\angle\mbox{POB}+\dfrac{1}{2}\angle\mbox{PCO}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 90^{\circ}$ $=45^{\circ}$
で一定であるから， $\angle\mbox{ACP}$ の二等分線と直線 $\mbox{AP}$ とは常に定角をなす．