https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1955/Kika

2025.12.15記

[1] 次の $\fbox{$\phantom{ああ}$}$ の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(1) 二定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ からの距離の平方の和が一定の値 $k$ （ $k\gt 0$ ）であるような点の軌跡は $\fbox{$\phantom{ああ}$}$ である．

(2) 一辺の長さ $a$ の正三角形の内接円の半径は $\fbox{$\phantom{ああ}$}$ であり，外接円の半径は $\fbox{$\phantom{ああ}$}$ である．

2025.12.16記

[解答]
(1) $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{M}$ ， $\mbox{AB}=2a$ とすると，中線定理より求める軌跡上の点を $\mbox{P}$ とすると
$k=\mbox{PA}^2+\mbox{PB}^2=2(\mbox{PM}^2+a^2)$
となるので $\sqrt{2k^2} \gt \mbox{AB}$ のとき
$\mbox{PA}=\dfrac{\sqrt{2k-\mbox{AB}^2}}{2}$
が成立し，求める軌跡は
$\fbox{$\mbox{AB}$の中点を中心，半径を$\dfrac{\sqrt{2k-\mbox{AB}^2}}{2}$とする円$\quad\quad\quad\quad\quad$}$
となる．なお， $\sqrt{2k^2} = \mbox{AB}$ のときは $\mbox{AB}$ の中点， $\sqrt{2k^2} \lt \mbox{AB}$ のときは空集合となる．

(2) 一辺の長さ $a$ の正三角形の内接円の半径は $\fbox{$\dfrac{\sqrt{3}}{6}a$}$ であり，外接円の半径は $\fbox{$\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$}$ である．