https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1955/Kaiseki_I

2025.12.15記

[3] 三辺が $15\mbox{cm}$ ， $19\mbox{cm}$ ， $23\mbox{cm}$ の三角形がある．
三辺がそれぞれ $x\mbox{cm}$ だけ短い鈍角三角形をつくり得るための $x$ の範囲を求めよ．

2025.12.15記

[解答]
最大辺は $(23-x)\mbox{cm}$ であるから三角形の成立条件から
$(15-x)+(19-x)\gt 23-x$ となり $x\lt11$ となり，最大角が鈍角であることから
$(15-x)^2+(19-x)^2\lt (23-x)^2$ となり $3\lt x\lt19$ となる．よって $3\lt x\lt 11$ となる．

三角形の成立条件を余弦定理は含みます．

[解答]
最大辺は $(23-x)\mbox{cm}$ であることから余弦定理により
$-1\lt \dfrac{(15-x)^2+(19-x)^2-(23-x)^2}{2(15-x)(19-x)} \lt 0$
が求める必要十分条件である．このとき
$-2\lt \dfrac{(19-x)(3-x)}{(15-x)(19-x)} \lt 0$
となるので， $x\neq 19$ かつ $-2(15-x)^2\lt (3-x)(15-x) \lt 0$ ，
つまり「 $0\lt 3(11-x)(15-x)$ かつ $(3-x)(15-x) \lt 0$ 」となり「 $x\lt 11，15\lt x$ かつ $3\lt x\lt 15$ 」から $3\lt x\lt 11$ となる．