https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1955/Kaiseki_II

2025.12.15記

[3] ガラス容器があってその形状は次の三つの線で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに回転してできる回転体であるとする．
放物線 $y=x^2$ ，これを $y$ 軸に平行に $0.5$ だけ上方に移動した放物線，直線 $y=16$ ，ただし座標軸上に測る長さの単位は $\mbox{cm}$ とする．
この容器に水を入れて静かに水中に浮べたとき外の水がちょうど容器の口まで達したとする．そのときの容器の水の深さ，すなわち容器が水に浮ぶための容器内の水の深さの限界を，ガラスの比重は $2.6$ として計算せよ．（ $mm$ 未満は切捨てよ）

2025.12.16記

[解答]
ガラス容器の体積は
$\pi\displaystyle\int_0^{16} y\, dy -\pi\displaystyle\int_{0.5}^{16} (y-0.5)\, dy$ $=\pi\displaystyle\int_{15.5}^{16} y\, dy$ $=\dfrac{\pi(16^2-15.5^2)}{2}$ $=\dfrac{63}{8}\pi\mbox{cm}^3$
である．ガラス容器内の水の深さを $h$ とすると，その中の水の体積は
$\pi\displaystyle\int_0^{h} y\, dy=\dfrac{\pi h^2}{2}\mbox{cm}^3$
であり，ガラス容器の容積は
$\pi\displaystyle\int_0^{16} y\, dy=\dfrac{\pi 16^2}{2}\mbox{cm}^3$
であるから，
$\dfrac{\pi 16^2}{2}=\dfrac{\pi h^2}{2}+2.6\times \dfrac{63}{8}\pi$
が成立する．よって $h=\sqrt{215.05}=14.6\cdots$ となり，答は $14\mbox{cm}6\mbox{mm}$ となる．