https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1955/Kaiseki_II

2025.12.15記

[2] $n$ をある正の整数とするとき， $0\leqq x\leqq\dfrac{1}{2}$ における函数 $y=nx^n(1-x)$ の最大値を求めよ．またこの最大値は $n$ のどんな正整数値に対して最も大きくなるか．

2025.12.16記

[解答]
$y'=-n(n+1)x^{n-1}\left(x-\dfrac{n}{n+1}\right)$ と $n\geqq 1$ で $\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}\geqq \dfrac{1}{2}$ であるから $0\lt x\lt\dfrac{1}{2}$ で $y'\gt 0$ となるので， $y$ は $x=\dfrac{1}{2}$ で最大値 $\dfrac{n}{2^{n+1}$ をとる．これを $g(n)$ とおくと
$0\lt \dfrac{g(n+1)}{g(n)}=\dfrac{n+1}{2n}=1-\dfrac{n-1}{2n}\leqq 1$ （等号は $n=1$ ）であるから $g(1)=g(2)\gt g(2)\gt …$ となり $n=1，2$ のときに最大値 $\dfrac{1}{4}$ をとる．