1954年(昭和29年)京都大学-数学(幾何)[1]

[1] 次に述べる事柄のおのおのについて正しいかどうか答えよ（証明は要しない）．正しくないときにはさらに反例（正しくないことを示す例）をあげよ．

(1) 三角形 の一辺 の中点 を通り直線が直線 と で交わり ならば直線 は辺 に平行である．

(2) ， を定円周上の二定点， をその円周上の任意の一点とするとき，円周角 は常に一定である．

(3) 平面上で四辺形 の辺 ，，， が他の四辺形 の辺 ，，， にそれぞれ等しければこの二つの四辺形は合同である．

(4) 平面上の正多角形の外角の和は辺の数には無関係に一定である．

(5) 三角形 において を辺 の一点とする．もし　 ならば は の中点である．

中線定理の逆

[解答]
(1) 正しくない：
の中点を とする．， が鋭角で のとき，線分 を満たす が線分 上（点 を除く）に存在する．この に対して となるが直線 は辺 に平行ではない．

(2) 正しくない：
が直径でない場合， を優弧のとるか劣弧にとるかで円周角は異なる（互いに補角となる）．

(3) 正しくない：
同じ一辺の長さをもつ正方形と（正方形とは異なる）菱形は合同ではない．

(4) 正しい：（4直角で一定である）

(5) 正しくない：（中線定理の逆は一般には成立しない．ヒントは(1)）
の中点を ， の中点を とする．， が鋭角で のとき，線分 を満たす が線分 上（ を除く）に存在する．この に対して中線定理から

が成立するが， は の中点ではない．