https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1954/Kaiseki_I

2025.12.06記

[2] 二次方程式 $ax^2+bx+c$ （ $a，b，c$ は実数）の図式解法の一つとして次の方法がある．

直交座標軸を定め，座標がそれぞれ $\left(-\dfrac{b}{2a}，\dfrac{c+a}{2a}\right)$ および $(0，1)$ である二点 $\mbox{C}$ ， $\mbox{A}$ をとり， $\mbox{C}$ を中心として $\mbox{A}$ を通る円をえがく．

もしこの円が横軸と二点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ で交われば $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ の横座標は与えられた方程式の二つの実根を表す（ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が一致するときは実の等根）．またもしこの円が横軸と交わらないならば与えられた方程式は二つの虚根をもつ．この場合には円の中心 $\mbox{C}$ から横軸に下した垂線の足 $\mbox{K}$ の横座標を $\alpha$ とし， $\mbox{K}$ から円に引いた接線 $\mbox{KT}$ の長さを $\beta$ とすれば，二根は $\alpha\pm\beta i$ で与えられる．

この解法の正しいことを証明せよ．

2025.12.07記

[解答]
横軸を $x$ 軸，縦軸を $y$ 軸とする．

$\mbox{C}$ を中心として $\mbox{A}$ を通る円の方程式は
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(y-\dfrac{c+a}{2a}\right)^2=\left(0+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(1-\dfrac{c+a}{2a}\right)^2$
である．ここで $D=b^2-4ac$ とおくと
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+y^2-\dfrac{c+a}{a}y=\dfrac{D}{4a^2}$
と整理される．この円と $x$ 軸の交点の満たす方程式は円の方程式で $y=0$ として
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{D}{4a^2}$ …①
となる．

(i) この円が横軸と二点で交わるとき：
①より $D\geqq 0$ であり，
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\right)^2$ $=\left(x+\dfrac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)=0$
から横軸との交点の座標は $\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ となり二次方程式の実数解となる（二交点が一致するときは重根 $-\dfrac{b}{2a}$ となる）．

(i) この円が横軸と二点で交わらないとき：
①より $D\lt 0$ であり， $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ である．また
$\mbox{KT}^2=\mbox{KC}^2-(円の半径の二乗)$
$=\left(\dfrac{c+a}{2a}\right)^2-\left\{\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(1-\dfrac{c+a}{2a}\right)^2\right\}$ $=\dfrac{-D}{4a^2}=\beta^2$
より $\beta=\dfrac{\sqrt{-D}}{2|a|}$ となり，数の集合 $\{|a|，-|a|\}$ と $\{a，-a\}$ は同じであるから
$\{\alpha\pm\beta i\}=\left\{-\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{-D}}{2|a|}i，-\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{-D}}{2|a|}i\right\}$
$=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{-D}i}{2a}，\dfrac{-b-\sqrt{-D}i}{2a}\right\}$
となり $\alpha\pm\beta i$ で二次方程式の二虚数解を表す．