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1954年(昭和29年)京都大学-数学(解析Ｉ)[1]

2025.12.06記

[1] 次の連立方程式を解け：
$y=\sqrt{2x-a}$ ， $x=\sqrt{2y-a}$

ただし常数 $a$ および未知数 $x，y$ はいずれも実数とする．

2025.12.06記
2つの関数は放物線の軸で分かちた半分のグラフで $y=x$ について対称であることから，少し考察すると $a=1$ のときに接することがわかり，実数解の数は $a\gt 1$ で $0$ 個， $a=1$ で $1$ 個， $0\leqq a\gt 1$ で $2$ 個， $a\lt 0$ で $1$ 個であることがわかります．

[解答]
$x，y\geqq 0$ であり，このとき $y^2=2x-a$ ， $x^2=2y-a$ となることが必要である．よって差をとって $(x-y)(x+y+2)=0$ となるが， $x+y+2\geqq 2\gt 0$ により $x=y$ が必要である．

このとき， $(x-1)^2=1-a$ （ $x\geqq 0$ ）から

(i) $a\gt 1$ のとき解なし，
(ii) $a=1$ のとき $x=y=1$ ，
(iii) $0\leqq a=1$ のとき $x=y=1\pm\sqrt{1-a}$ ，
(iv) $a\lt 0$ のとき $x=y=1+\sqrt{1-a}$

となる．

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