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1954年(昭和29年)京都大学-数学(解析ＩＩ)[2]

2025.12.06記

[2] 座標の原点を通って直線を引き，曲線 $y=x^3-6x^2+9x$ と三点で交わるようにしてしかも直線と曲線とで囲まれる二つの部分の面積が等しくなるようにしたい．その直線の方程式を求めよ．

2025.12.07記

[大人の解答]
曲線 $y=x^3-6x^2+9x$ は変曲点 $(2，2)$ について点対称であるから求める直線は $y=x$ である．

という答案を書いた場合，50点満点で何点もらえたのか私気になります．

[解答]
原点を通る直線を $y=mx$ とおくと $x^3-6x^2+(9-m)x=0$ から $x=0，3\pm\sqrt{m}$ であるから $m\gt 0$ かつ $m\neq 9$ である．

(i) $m\gt 9$ のとき
$X=x-3$ と平行移動することにより，
$\displaystyle\int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}} (X+3)(X^2-m)\, dX$ $=3\displaystyle\int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}} (X^2-m)\, dX=3\cdot\dfrac{8m\sqrt{m}}{6}= 0$ となれば良いが， $m\gt 0$ より不適．

(ii) $0\lt m\lt 9$ のとき $3+\sqrt{m}=M$ （ $\gt 0$ ）とおくと $m=(M-3)^2$ であり，
$\displaystyle\int_{0}^{M} \{x^3-6x^2+(9-m)x\}\, dx$ $=\dfrac{M^4}{4}-2M^3+\dfrac{M(6-M)}{2}M^2$ $=\dfrac{M^3(4-M)}{4}=0$ となれば良く， $M=4$ ，つまり $m=1$ となる．

よって $y=x$ が求める直線である．

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