https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1953/Kika

2025.12.05記

[2] 一点 $\mbox{A}$ で外接する相等しい二円を $\mbox{O}_1$ ， $\mbox{O}_2$ とし，これらの円の半径の二倍の長さを半径とする円 $\mbox{O}$ が円 $\mbox{O}_1$ と $\mbox{B}$ で内接し，円 $\mbox{O}_2$ と二点で交わつているものとする．この二交点のいずれか一方と， $\mbox{A}$ および $\mbox{B}$ は同一直線上にあることを証明せよ．

2025.12.06記

[解答]
円 $\mbox{O}_1$ を $\mbox{A}$ 中心に $-1$ 倍拡大したものが円 $\mbox{O}_2$ であり，円 $\mbox{O}_1$ を $\mbox{B}$ 中心に $2$ 倍拡大したものが円 $\mbox{O}$ である．

ここで点 $\mbox{A}$ を点 $\mbox{B}$ 中心に $2$ 倍拡大した点 $\mbox{C}$ は円 $\mbox{O}$ 上の点であるが，点 $\mbox{C}$ は同時に点 $\mbox{B}$ を点 $\mbox{A}$ 中心に $-1$ 倍拡大した点でもあるから円 $\mbox{O}_2$ 上の点でもある．よって点 $\mbox{C}$ は円 $\mbox{O}$ と円 $\mbox{O}_2$ の二交点のいずれかとなり，題意は証明された．