1953年(昭和28年)京都大学-数学(幾何)[1]

[1] 三角形 の頂角 の二等分線が外接円に交わる点を ， から に下した垂線の足を ， の中点を とすれば， は頂角 の外角の二等分線に平行であることを証明せよ．

[解答]
三角形 の頂角 の外角二等分線が外接円に交わる点を とすると，内角の半分と外角の半分を足すと直角となることから となり， は三角形 の外接円の直径となる．

また，弧 の円周角 と弧 の円周角 が等しいことから弧 の長さと弧 の長さは等しく， が成立し， が の中点であることから， と は三辺相等の合同となり，よって となる．つまり は の垂直二等分線となり，直線 は外接円の中心を通る直線となる．よって は直径 上にある．

一方， により 点 は同一円周上にあり，円に内接する四角形の性質から が成立する．

円周角の定理から となるので が成立し，錯覚が等しいので となり， は頂角 の外角の二等分線に平行である．