https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1953/Kaiseki_I

2025.12.05記

[2] 二次函数 $x^2+px+p^2$ が， $0\leqq x\leqq 1$ のとき，常に $1$ と $3$ との間の値をとるために $p$ のとるべき実数値の範囲を求めよ．

本問のテーマ

最大最小は端点と極値

2025.12.05記

[解答]
$f(x)=x^2+px+p^2=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+\dfrac{3p^2}{4}$ とおくと，

$1\lt f(0)=p^2\lt 3$ …①， $1\lt f(1)=p^2+p+1\lt 3$ …② であり，「 $-2\leqq p\leqq 0$ のとき $1\lt f\left(-\dfrac{p}{2}\right)=\dfrac{3p^2}{4}\lt 3$ 」…③ となることである．

①から $1\lt |p| \lt\sqrt{3}$ ，②から「 $-2\lt p\lt -1$ または $0\lt p\lt 1$ 」，③から $-2\lt p \lt -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ となるので求める範囲は $-\sqrt{3}\lt p \lt -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ となる．