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2025.12.05記

[1] 次の式を簡単にせよ．
$\dfrac{1}{(a-b)(a-c)(a+1)}+\dfrac{1}{(b-c)(b-a)(b+1)}+\dfrac{1}{(c-a)(c-b)(c+1)}$

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2025.12.05記

[解答]
与えられた式を通分して $\dfrac{A}{(a-b)(b-c)(c-a)(a+1)(b+1)(c+1)}$ となるとき，
$A=(c-b)(b+1)(c+1)+(a-c)(c+1)(a+1)+(b-a)(a+1)(b+1)$
が成立する．ここで $a=b$ のとき $A=0$ となるので $A$ は $a-b$ で割り切れ，同様に $b-c，c-a$ で割り切れるので
$A=k(a-b)(b-c)(c-a)$ （次数を考えると $k$ は定数）と書くことができる． $b^2c$ の係数を比較して $k=1$ となるので与えられた式は $\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)(a+1)(b+1)(c+1)}$ $=\dfrac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}$ となる．

[うまい解答]
$a，b，c，-1$ のうち等しいものが存在すると式が定義できないので， $a，b，c，-1$ はすべて異なるとして良い．

このとき， $f(x)=\dfrac{(x-b)(x-c)(x+1)}{(a-b)(a-c)(a+1)}$ $+\dfrac{(x-c)(x-a)(x+1)}{(b-c)(b-a)(b+1)}$ $+\dfrac{(x-a)(x-b)(x+1)}{(c-a)(c-b)(c+1)}$ $+\dfrac{(x-a)(x-b)(x-c)}{(-1-a)(-1-b)(-1-c)}$ とおくと， $f(x)$ は3次以下の関数で $f(a)=f(b)=f(c)=f(-1)=1$ を満たすので $f(x)$ は定数 $1$ に等しい．よって $f(x)$ の $x^3$ の係数は $0$ となり，
$\dfrac{1}{(a-b)(a-c)(a+1)}+\dfrac{1}{(b-c)(b-a)(b+1)}+\dfrac{1}{(c-a)(c-b)(c+1)}$ $+\dfrac{1}{(-1-a)(-1-b)(-1-c)}=0$
となり， $\dfrac{1}{(a-b)(a-c)(a+1)}+\dfrac{1}{(b-c)(b-a)(b+1)}+\dfrac{1}{(c-a)(c-b)(c+1)}$ $=\dfrac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}$ となる．