https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1953/Kaiseki_II

2025.12.05記

[2] 水平な地面に垂直に柱が立つている．まず柱の下端から $100\mbox{m}$ 離れた地面上の点から柱の上端を望む仰角を測定したところ $15^{\circ}$ であつた．この測定値を用いて柱の高さを求めよ．（有効数字 $3$ 桁目まで算出せよ．）

次に柱の高さを直接巻尺で測つた結果上記の計算値よりも $0.1\mbox{m}$ 長いことを見出した．仰角の測定に何度の誤りがあつたか（有効数字 $1$ 桁目を算出せよ．）ただし距離および長さの測定に誤りがなく，地面は完全に水平であつたとする．

$\sqrt{2}=1.414$ ， $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{5}=2.236$ ， $\sqrt{6}=2.450$ ，

2025.12.05記
円周率 $\pi$ の近似値が与えられていませんが，これは桁数を合わせて $3.141$ で良いでしょうかね．

[解答]
$\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$ であるから，柱の高さは $100(2-\sqrt{3})=26.8\mbox{m}$ となる．

仰角の誤差を $\varepsilon^{\circ}$ とすると，これは $\Delta=\dfrac{\pi\varepsilon}{180}$ ラジアンである．

$\tan \left(\dfrac{\pi}{12}+\Delta\right)-\tan\dfrac{\pi}{12}≒\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{\pi}{12}}\Delta$ であり，この100倍が $0.1$ であることから $\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{\pi}{12}}\Delta=0.001$ ，つまり
$\varepsilon=\dfrac{18}{100\pi}\cos^2\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{18(8+4\sqrt{3})}{1600\pi}$
$=\dfrac{9(2+\sqrt{3})}{200\pi}$ $=\dfrac{0.16794}{\pi}$ $≒\dfrac{167.94}{3141}=0.053…$
となり， $0.05^{\circ}$ となる．

有効数字1桁目ということなので，途中は有効数字2桁で
$=\dfrac{9(2+\sqrt{3})}{200\pi}$ $≒\dfrac{17}{310}=0.054…$
と計算するのが通常ですので，これでも問題ないでしょう．可能ならば有効数字3桁で計算した方が誤差の蓄積の影響を受けにくくなります．