https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1952/Kika

2025.12.04記

[2] 点 $\mbox{C}$ を中心とする円 $K$ の外部に点 $\mbox{P}$ を取り， $\mbox{CP}$ を直径とする円を書く．これと $K$ との共通弦が $\mbox{CP}$ と交わる点を $\mbox{R}$ とする． $K$ の直径で $\mbox{CP}$ と直交するものを $\mbox{NS}$ とし， $\mbox{NP}$ と $K$ との交点を $\mbox{Q}$ とすると， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ が同一直線上にあることを示せ．

2025.12.05記
なぜ $\rm N，S$ かと考えると極射影（立体射影）が元ネタであることがわかります．

[解答]
$K$ を $x^2+y^2=1$ とすると $\mbox{C}(0，0)$ であり， $\mbox{N}(0，1)$ ， $\mbox{S}(0，-1)$ として良い．このとき $\mbox{P}(2p，0)$ （ $2p\gt 1$ ）とすると $\mbox{CP}$ を直径とする円は $(x-p)^2+y^2=p^2$ であるから，これと $K$ との共通弦は $x=\dfrac{1}{2p}$ となるので $\mbox{R}\left(\dfrac{1}{2p}，0\right)$ となる．

直線 $\mbox{NP}$ は切片方程式から $\dfrac{x}{2p}+y=1$ であるから，これと $K$ の交点の $x$ 座標は $x\neq 0$ より $x=\dfrac{4p}{4p^2+1}$ となり，よって $\mbox{Q}\left(\dfrac{4p}{4p^2+1}，\dfrac{4p^2-1}{4p^2+1}\right)$ となる． $\overrightarrow{\mbox{SR}}=\left(\dfrac{1}{2p}，1\right)$ ， $\overrightarrow{\mbox{SQ}}=\left(\dfrac{4p}{4p^2+1}，\dfrac{8p^2}{4p^2+1}\right)$ であるから $\overrightarrow{\mbox{SQ}}=\dfrac{8p^2}{4p^2+1}\overrightarrow{\mbox{SQ}}$ となるので， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ は同一直線上にある．

実は $\mbox{Q}$ の座標は求めなくても構いません．

直線 $\mbox{NP}$ は切片方程式から $\dfrac{x}{2p}+y=1$ であるから $\overrightarrow{\mbox{SR}}=\left(\dfrac{1}{2p}，1\right)$ と垂直である．また $\mbox{NS}$ は $K$ の直径であるから $\angle\mbox{NQS}=90^{\circ}$ となるので $\mbox{SQ}\perp\mbox{PN}$ である．よって $\mbox{SQ}\parallel\mbox{SR}$ となり， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ は同一直線上にある．

極射影（立体射影）が元ネタである，ということで方羃の定理が活躍します．

[解答]
$\mbox{CP}$ を直径とする円と $K$ との共通弦の一端を $\mbox{T}$ とすると $\mbox{CP}$ は直径であるから $\angle\mbox{CTP}=90^{\circ}$ となり， $\mbox{PT}$ は $K$ の接線となるので，方羃の定理から $\mbox{PQ}\cdot\mbox{PN}=\mbox{PT}^2$ …① が成立する．

一方2つの直角三角形 $\triangle\mbox{PRT}$ と $\triangle\mbox{PTC}$ は相似であるから $\mbox{PR}\cdot\mbox{PC}=\mbox{PT}^2$ …② が成立する．

①②から $\mbox{PQ}\cdot\mbox{PN}=\mbox{PR}\cdot\mbox{PC}$ となり， $\rm C，R，Q，N$ は同一円周上にあり $\angle\mbox{RCN}=90^{\circ}$ から $\angle\mbox{RQN}=90^{\circ}$ となり， $\mbox{QR}\perp\mbox{PN}$ が成立する．一方 $\mbox{NS}$ は直径であるから $\angle\mbox{SQN}=90^{\circ}$ となり， $\mbox{QS}\perp\mbox{PN}$ が成立する．

よって $\mbox{QR}\parallel\mbox{QS}$ となり， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ は同一直線上にある．