https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1952/Kika

2025.12.04記

[1] 三角形 $\mbox{ABC}$ が与えられている．この三角形のどの辺にも平行でない直線を $l$ とする．頂点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を通つて $l$ に平行な直線を引き，これが $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ 又はそれの延長と交わる点をそれぞれ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ とすれば三角形 $\mbox{DEF}$ の面積が一定であることを証明せよ．

2025.12.05記
問題文の意味は「三角形 $\mbox{DEF}$ の面積が直線 $l$ のとり方によらず一定であることを証明せよ」ということです．

[大人の解答]
アファイン変換で $\mbox{A}\mapsto \mbox{A}'(0，0)$ ， $\mbox{B}\mapsto \mbox{B}'(-1，-1)$ ， $\mbox{C}\mapsto \mbox{C}'(1，-1)$ と移すとき， $\mbox{D}\mapsto \mbox{D}'(0，-1)$ ， $\mbox{E}\mapsto \mbox{E}'(-1，1)$ ， $\mbox{F}\mapsto \mbox{F}'(1，1)$ と移る．アファイン変換によって面積比は不変であるから， $\dfrac{\triangle\mbox{DEF}}{\triangle\mbox{ABC}}$ $=\dfrac{\triangle\mbox{D}'\mbox{E}'\mbox{F}'}{\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'}=\dfrac{2}{1}=2$ となるので，三角形 $\mbox{DEF}$ の面積は三角形 $\mbox{ABC}$ の面積の2倍で一定である．

何を自明として良いのかが難しいです．台形の対角線の交点はその交点を通り上底に平行な直線と台形との2交点を結ぶ線分を2等分するので $\triangle\mbox{DEF}$ $=2\triangle\mbox{ABC}$ が成り立つことはすぐにわかりますが，ここでは等積変形だけで処理してみます．

[解答]
$\mbox{CF}\parallel\mbox{BE}$ により $\triangle\mbox{FEB}=\triangle\mbox{CEB}$ だから $\triangle\mbox{AEB}$ を除いて $\triangle\mbox{AEF}=\triangle\mbox{ABC}$ …①となる．

$\mbox{DA}\parallel\mbox{BE}$ により $\triangle\mbox{ADE}=\triangle\mbox{ADB}$ …②となる．

$\mbox{DA}\parallel\mbox{CF}$ により $\triangle\mbox{ADF}=\triangle\mbox{ADC}$ …③となる．

よって $\triangle\mbox{DEF}$ $=\triangle\mbox{AEF}+\triangle\mbox{ADE}+\triangle\mbox{ADF}$ $=\triangle\mbox{ABC}+\triangle\mbox{ADB}+\triangle\mbox{ADC}$ （∵①②③）となり， $\triangle\mbox{DEF}$ $=2\triangle\mbox{ABC}$ となる．よって三角形 $\mbox{DEF}$ の面積は三角形 $\mbox{ABC}$ の面積の2倍で一定である．