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1952年(昭和27年)京都大学-数学(解析Ｉ)[1]

2025.12.04記

[1] $x$ についての $2$ 次方程式 $(a-x)(b-x)-c^2=0$ に於て $a，b，c$ は実数であるとする． $c$ が定数（ $\neq 0$ ）であると，この方程式が少なくとも $1$ の正根をもつためには， $(a，b)$ を座標とする点は，どのような範囲になければならぬか．それを図で示せ．

2025.12.05記

[解答]
$f(x)=(a-x)(b-x)-c^2=x^2-(a+b)x+ab-c^2$ とおくと $f(a)=0$ ， $f(x)\to+\infty$ （ $x\to\infty$ ）であるからこの方程式は実数解を持つ．よって $\dfrac{a+b+\sqrt{(a-b)^2+4c^2}}{2}\gt 0$ ，つまり

$a+b\gt 0$ または $(a+b)^2\lt (a-b)^2+4c^2$

となる．整理して $a+b\gt 0$ または $ab\lt c^2$ となる（図示略）．

[うまい解答]
$(a-x)(b-x)-c^2=0$ が $x=t$ を解に持つような $(a，b)$ の集合は直角双曲線 $ab=c^2$ を $(t，t)$ だけ平行移動したものとなる．よって求める範囲は直角双曲線 $ab=c^2$ を右斜め $45^{\circ}$ に動かしつづけたときに掃く領域となる（ $t\gt 0$ なので境界となる $b=\dfrac{c^2}{a}$ の $a\lt 0$ の部分は含まない）．

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