1951年(昭和26年)京都大学-数学

[1] 桁の整数 の の中へ適当な数字を入れると の倍数となる．この整数を全部あげよ．

[2] 急行列車が毎時 の速さでA駅を通過した後 の間はこの速さを保ち，その後は一樣にその速さを減じてA駅から ののところにあるB駅に停車した．急行列車がA駅を通過すると同時にA駅に停車していた電車が発車し，一樣に速さを増して或る最大の速さに達した瞬間から直ちに速さを一樣に減じて，丁度急行列車と同時にB駅に到着した．電車の最大の速さは毎時何 であるか．

[3] 円に内接する不等辺三角形 をえがき，弧 ，， の中点をそれぞれ ，， として三角形 を作る．次に弧 ，， の中点をそれぞれ ，， として三角形 を作る．このようにして順次に得られる三角形 ，， ，…… は次第に正三角形に近づくことを証明せよ．

【解析Ｉ】

[4] は の 次式である．，，， がそれぞれ ，，， であると， はいくらか．

[5] 函数 と （ は定数）とのグラフにつき

(i)それぞれの線をえがけ，

(ii)その名称を記せ，

(iii) の値が代わるとき，両線の交点の個数の変化を明らかにせよ．

【解析ＩＩ】

[4] 直径が約 の円がある．この円の面積を測定し，相対誤差が パーセント以内であるようにしたい．直径をどの程度にくわしく測れば良いか．

[5] 縦，横の長さがそれぞれ ， の矩形をま二つに折つて図のような屋根形を作り，その内部の体積を最大にしようと思う．

(i) どのように折ればよいか，

(ii) 最大の体積は何程であるか．

【幾何】

[4] 正方形 の中心 と を通る円が辺 ， とそれぞれ点 ， で交わるとき， は正方形の一辺の長さに等しいことを証明せよ．この場合 ， は辺の延長上にはないものとする．

[5] 三角形 の頂点 から底辺 に垂線を下し，その足を ，外接円との交点を とする． 上に であるような点 をとる． から に垂直な直線を引き円弧 との交点を とすれば である．何となれば ．又 である．何となれば ．従つて は外接円の直径である． を通る直線が ， と交わる点をそれぞれ ， とする． から に垂線を下しその足を ， との交点を とする． を通つて に平行な直線を引き，
， との交点をそれぞれ ， とすると，，，， は共円である．何となれば
．従つて である．同じく である．故に ∽ である．ところが ∵ であるから である．

この事実から， を通り，，で限られる線分の最小値について結論せよ．

【一般数学】

[4] の間隔を保ちながら人が一列をなして毎時 の速さで通路の右側を走つている．左側には毎時 の速さで の間隔を保ちながら自轉車が一列になつて，右側の人と同方向に走つている．通路上の観測者が人と自轉車とに交互にすれちがうようにするには，　どのような速さでこの道路を走ればよいか．

[5] 骰子（さい）を 回振るとき，少くとも 回 の目が出る確率が よりも大きくなるためには，回数 は少くとも何程でなければならないか．但し ， である．