https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1951/Kyoutuu

2025.11.27記

[3] 円に内接する不等辺三角形 $\mbox{A}_1\mbox{B}_1\mbox{C}_1$ をえがき，弧 $\mbox{B}_1\mbox{C}_1$ ， $\mbox{C}_1\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_1\mbox{B}_1$ の中点をそれぞれ $\mbox{A}_2$ ， $\mbox{B}_2$ ， $\mbox{C}_2$ として三角形 $\mbox{A}_2\mbox{B}_2\mbox{C}_2$ を作る．次に弧 $\mbox{B}_2\mbox{C}_2$ ， $\mbox{C}_2\mbox{A}_2$ ， $\mbox{A}_2\mbox{B}_2$ の中点をそれぞれ $\mbox{A}_3$ ， $\mbox{B}_3$ ， $\mbox{C}_3$ として三角形 $\mbox{A}_3\mbox{B}_3\mbox{C}_3$ を作る．このようにして順次に得られる三角形 $\mbox{A}_1\mbox{B}_1\mbox{C}_1$ ， $\mbox{A}_2\mbox{B}_2\mbox{C}_2$ ， $\mbox{A}_3\mbox{B}_3\mbox{C}_3$ ，…… は次第に正三角形に近づくことを証明せよ．

2025.11.28記

[解答]
円周の長さを $L$ とし，弧 $\mbox{B}_n\mbox{C}_n$ の長さを $a_n$ とおくと $a_{n+1}=\dfrac{L-a_n}{2}$ であるから， $a_{n+1}-\dfrac{L}{3}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\left(a_1-\dfrac{L}{3}\right)$ が成立し， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\dfrac{L}{3}$ となる．同様に
弧 $\mbox{C}_n\mbox{A}_n$ ， $\mbox{A}_n\mbox{B}_n$ の長さの極限も $\dfrac{L}{3}$ となるので，三角形 $\mbox{A}_1\mbox{B}_1\mbox{C}_1$ ， $\mbox{A}_2\mbox{B}_2\mbox{C}_2$ ， $\mbox{A}_3\mbox{B}_3\mbox{C}_3$ ，…… は次第に正三角形に近づく．

弧 $\mbox{B}_n\mbox{C}_n$ ， $\mbox{C}_n\mbox{A}_n$ ， $\mbox{A}_n\mbox{B}_n$ の長さをそれぞれ $a_n$ ， $b_n$ ， $c_n$ とおくと $a_{n+1}=\dfrac{b_n+c_n}{2}$ ， $b_{n+1}=\dfrac{c_n+a_n}{2}$ ， $c_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ であるから， $a_{n+1}-b_{n-1}=-\dfrac{1}{2}(a_n-b_n)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-b_1)$ ， $b_{n+1}-c_{n-1}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(b_1-c_1)$ となり，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} (b_n-c_n)=0$
が成立し，よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n$
であるから，三角形 $\mbox{A}_1\mbox{B}_1\mbox{C}_1$ ， $\mbox{A}_2\mbox{B}_2\mbox{C}_2$ ， $\mbox{A}_3\mbox{B}_3\mbox{C}_3$ ，…… は次第に正三角形に近づく．

という解答は， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ が存在するかどうかわからないので不十分です
（ $a_n+b_n+c_n$ が一定だから存在するのですが，，，）．