https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1951/Kika

2025.11.27記

[5] 三角形 $\mbox{ABC}$ の頂点 $\mbox{C}$ から底辺 $\mbox{AB}$ に垂線を下し，その足を $\mbox{D}$ ，外接円との交点を $\mbox{L}$ とする． $\mbox{AB}$ 上に $\mbox{AE}=\mbox{DB}$ であるような点 $\mbox{E}$ をとる． $\mbox{E}$ から $\mbox{AB}$ に垂直な直線を引き円弧 $\mbox{ALB}$ との交点を $\mbox{K}$ とすれば $\mbox{EK}=\mbox{DL}$ である．何となれば $\fbox{$\phantom{aaaaaaaaaa}$}$ ．又 $\angle\mbox{KLC}=\angle R$ である．何となれば $\fbox{$\phantom{aaaaaaaaaa}$}$ ．従つて $\mbox{KC}$ は外接円の直径である． $\mbox{E}$ を通る直線が $\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ とする． $\mbox{K}$ から $\mbox{FG}$ に垂線を下しその足を $\mbox{O}$ ， $\mbox{AB}$ との交点を $\mbox{H}$ とする． $\mbox{H}$ を通つて $\mbox{FG}$ に平行な直線を引き，
$\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ との交点をそれぞれ $\mbox{J}$ ， $\mbox{I}$ とすると， $\mbox{K}$ ， $\mbox{H}$ ， $\mbox{I}$ ， $\mbox{B}$ は共円である．何となれば
$\fbox{$\phantom{aaaaaaaaaa}$}$ ．従つて $\angle\mbox{KIH}=\angle\mbox{KBA}$ である．同じく $\angle\mbox{KJH}=\angle\mbox{KAB}$ である．故に $\triangle\mbox{IJK}$ ∽ $\triangle\mbox{BAK}$ である．ところが $\mbox{KI}\gt \mbox{KB}$ ∵ $\fbox{$\phantom{aaaaaaaaaa}$}$ であるから $\mbox{AB}\lt \mbox{IJ}\lt \mbox{FG}$ である．

この事実から， $\mbox{E}$ を通り， $\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ で限られる線分の最小値について結論せよ．

$\fbox{$\phantom{aaaaaaaaaa}$}$

本問のテーマ

フィロー（Philo）線
立方体倍積問題（ギリシャ三大難問，ギリシャ三大作図問題）

2025.11.29記
本問の「この事実から， $\mbox{E}$ を通り， $\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ で限られる線分の最小値について結論せよ」の意味は非常にわかりにくいと思います．ここで登場する半直線 $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ の $\mbox{A}，\mbox{B}$ の定め方は結論においては後から定まるものとなるからです．

また，正しくは「 $\mbox{E}$ を通る「 $\mbox{AB}$ とは異なる直線が」 $\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ とする」です．でないと
$\mbox{KI}=\mbox{KB}$ ， $\mbox{AB}=\mbox{IJ}=\mbox{FG}$ となる場合を含んでしまいます．

[解答]
三角形 $\mbox{ABC}$ の頂点 $\mbox{C}$ から底辺 $\mbox{AB}$ に垂線を下し，その足を $\mbox{D}$ ，外接円との交点を $\mbox{L}$ とする． $\mbox{AB}$ 上に $\mbox{AE}=\mbox{DB}$ であるような点 $\mbox{E}$ をとる． $\mbox{E}$ から $\mbox{AB}$ に垂直な直線を引き円弧 $\mbox{ALB}$ との交点を $\mbox{K}$ とすれば $\mbox{EK}=\mbox{DL}$ である．何となれば

［ $\mbox{AB}$ の垂直二等分線に関して $\mbox{D}$ と $\mbox{E}$ ，および $\mbox{K}$ と $\mbox{K}$ は対称であるからである］．

又 $\angle\mbox{KLC}=\angle R$ である．何となれば

［ $\mbox{KL}$ は $\mbox{AB}$ の垂直二等分線に垂直であるから， $\mbox{CL}$ にも垂直だからである］．

従つて $\mbox{KC}$ は外接円の直径である． $\mbox{E}$ を通る直線が $\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ とする． $\mbox{K}$ から $\mbox{FG}$ に垂線を下しその足を $\mbox{O}$ ， $\mbox{AB}$ との交点を $\mbox{H}$ とする． $\mbox{H}$ を通つて $\mbox{FG}$ に平行な直線を引き，
$\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ との交点をそれぞれ $\mbox{J}$ ， $\mbox{I}$ とすると， $\mbox{K}$ ， $\mbox{H}$ ， $\mbox{I}$ ， $\mbox{B}$ は共円である．何となれば

［ $\mbox{KC}$ が円の直径であることから $\angle\mbox{KBI}=\angle R$ であり， $\mbox{KH}\perp\mbox{JI}$ から $\angle\mbox{IHK}=\angle R$ であるからである］．

従つて $\angle\mbox{KIH}=\angle\mbox{KBA}$ である．同じく $\angle\mbox{KJH}=\angle\mbox{KAB}$ である．故に $\triangle\mbox{IJK}$ ∽ $\triangle\mbox{BAK}$ である．ところが $\mbox{KI}\gt \mbox{KB}$ ∵

［直角三角形 $\triangle\mbox{KBI}$ において斜辺 $\mbox{KI}$ が最長だからである］

であるから $\mbox{AB}\lt \mbox{IJ}\lt \mbox{FG}$ である．

よって $\mbox{E}$ を通る直線が $\mbox{AB}$ とは異なるとき， $\mbox{AB}\lt\mbox{FG}$ が成立するので， $\mbox{E}$ を通る直線が $\mbox{AB}$ と一致するときに $\mbox{E}$ を通り， $\mbox{AC}$ ， $\mbox{BC}$ で限られる線分の長さは最小となる．

つまり，半直線 $\mbox{CX}$ ， $\mbox{CY}$ で挟まれた領域内にある点 $\mbox{E}$ を通る直線が，半直線 $\mbox{CX}$ ， $\mbox{CY}$ で限られる線分の長さは最小となるのは，点 $\mbox{E}$ を通る直線と半直線 $\mbox{CX}$ ， $\mbox{CY}$ との交点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ としたとき，点 $\mbox{C}$ から $\mbox{AB}$ に下した垂線の足を $\mbox{D}$ とすると， $\mbox{AE}=\mbox{BD}$ が成り立つときである．

フィロー線 - Wikipedia

にあるように，フィロー線を描くためには $3$ 次方程式を解かなければならないので，定木とコンパスで作図をすることはできません．またフィロー線は立方体倍積問題を解く際にフィロー（ビザンチウムのフィロン）がフィロー線を定義したそうです．