https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1951/Kika

2025.11.27記

[4] 正方形 $\mbox{ABCD}$ の中心 $\mbox{O}$ と $\mbox{A}$ を通る円が辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{AD}$ とそれぞれ点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ で交わるとき， $\mbox{AP}+\mbox{AQ}$ は正方形の一辺の長さに等しいことを証明せよ．この場合 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は辺の延長上にはないものとする．

2025.11.29記

[解答]
$\triangle\mbox{OQA}$ と $\triangle\mbox{OPB}$ に対して
$\angle\mbox{OAQ}=\angle\mbox{OBP}=45^{\circ}$ ，
$\angle\mbox{OQA}=\angle\mbox{OPB}$ （円に内接する四角形の性質）
により $\triangle\mbox{OQA}$ ∽ $\triangle\mbox{OPB}$ であり， $\mbox{OA}=\mbox{OB}$ であるから $\triangle\mbox{OQA}\equiv\triangle\mbox{OPB}$ である．

よって $\mbox{AP}+\mbox{AQ}$ $=\mbox{AP}+\mbox{BP}$ $=\mbox{AB}$ となり， $\mbox{AP}+\mbox{AQ}$ は正方形の一辺の長さに等しい．