https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1951/Kaiseki_I

2025.11.27記

[4] $f(x)$ は $x$ の $3$ 次式である． $f(-2)$ ， $f(-1)$ ， $f(1)$ ， $f(2)$ がそれぞれ $-9$ ， $-1$ ， $3$ ， $11$ であると， $f(0)$ はいくらか．

本問のテーマ

階差
補間公式

2025.11.29記

[解答]
$f(0)=u$ とおくと階差は $8，u+1，3-u，8$ ，第二階差は $u-7，-2u+2，u+5$ となり， $3$ 次式の階差を二回とると $1$ 次式となることから $(u-7)+(u+5)=2(-2u+2)$ となり $6u=6$ であるから $f(0)=u=1$ である．

この解答は結局次のようになります．

[解答]
$f(x)$ は $3$ 次式であるから
$1\cdot f(2)-4\cdot f(1)+6\cdot f(0)-4\cdot f(-1)+1\cdot f(-2)=6f(0)-6=0$
を満たすので， $f(0)=1$ である．

Newton の補間公式を用いると次のようになります．

[解答]
$(-1，-1)$ ， $(1，3)$ を通る直線の方程式は $y=2x+1$ である．
$(-1，-1)$ ， $(1，3)$ ， $(2，11)$ を通る $2$ 次関数の方程式は $y=2(x^2-1)+2x+1$ である．
$(-2，-9)$ ， $(-1，-1)$ ， $(1，3)$ ， $(2，11)$ を通る $3$ 次関数の方程式は
$y=(x^2-1)(x-2)+2(x^2-1)+2x+1=f(x)$ である．

よって $f(0)=2-2+1=1$ である．