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2025.11.19記

【共通問題】

[1] 下図に於て $\mbox{AH}$ ， $\mbox{BK}$ は何れも $\mbox{AB}$ に垂直であり， $\mbox{AH}$ の目盛は対数尺である， $a，b$ が與えられたとき，第i図にありては積 $ab$ を，第ii図にありては $3\sqrt{ab}$ を求めるために共線図表を作図せよ．それによつて $a=6.25$ ， $b=2.75$ の場合，両者の値を求めよ．

[2] 次の連立方程式の根を小数第2位は四捨五入して小数第1位まで求めよ．
$x+y+z=100$ ， $x^2+y^2=z^2$ ， $xy=300$ ．

[3] 各頂点では自由に動けるようにちょうつがいで結ばれた棒からなる凸四辺形 $\mbox{ABCD}$ がある．これを適当に変形すれば一つの円に内接するように出來るかという問題である． $\mbox{ABCD}$ の辺の長さを図のように順に $a，b，c，d$ とし， $\angle\mbox{ABC}$ を $\theta$ とするとき，それには $a^2+b^2-2ab\cos\theta=c^2+d^2+2cd\cos\theta$ となるようにすればよい．

(i) これは何故であるか．

(ii) 上の等式を満足するように角 $\theta$ をいつでも（即ち辺の長さ $a，b，c，d$ の如何を問わず）取ることが出來るであろうか．

【解析Ｉ】

[4] $b$ ， $c$ を実数とすれば，方程式 $x^4+2bx^2+c=0$ の実根の個数は $4，2$ 或いは $0$ である．各場合に應じて係数 $b，c$ の満足すべき條件はどうなるか．

[5] 方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ の根はみな実数とする．これら三実根が等比数列をなすために係数が満足すべき條件を求めよ，但し $c\neq 0$ とする．

【解析ＩＩ】

[4] 三つの函数 $f(x)=x^{a}$ ， $g(x)=a^x$ ， $h(x)=x^x$ をぞれぞれ $x$ について微分せよ（但し $x\gt 0$ ）．そしてこの三函数各々の $x=a$ の近傍のグラフの略図を同一図に描き入れ，その大小関係を明にせよ．但し $a$ は整数とし $a\gt 1$ とする．

[5] 港から出て行く船と，入つて來る船とがある．両船の航路は $60^{\circ}$ の角をなし，速さの比は $2:1$ である．両船の最も近づくときの港から各船までの距離の比は幾らであるか．

【幾何】

[4] $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ は三角形 $\mbox{ABC}$ の底辺 $\mbox{BC}$ を同じ比に内分，外分する点であり， $\angle\mbox{PAQ}$ は直角であるとする．このとき $\mbox{AP}$ ， $\mbox{AQ}$ は $\angle\mbox{BAC}$ の内角，外角の二等分線であることを証明せよ．

[5] 半径 $R$ ， $\mbox{r}$ の二円が点 $\mbox{C}$ に於て外接している．この二円の共通外接線の接点を $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とするとき，三角形 $\mbox{ACB}$ は直角三角形であること，及びこれの三辺の比は $\sqrt{R}:\sqrt{r}:\sqrt{R+r}$ となることを証明せよ．