https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1950/Kika

2025.11.19記

[5] 半径 $R$ ， $r$ の二円が点 $\mbox{C}$ に於て外接している．この二円の共通外接線の接点を $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とするとき，三角形 $\mbox{ACB}$ は直角三角形であること，及びこれの三辺の比は $\sqrt{R}:\sqrt{r}:\sqrt{R+r}$ となることを証明せよ．

2025.11.27記

[解答]
$\mbox{C}$ における二円の共通接線と直線 $\mbox{AB}$ との交点を $\mbox{P}$ とすると $\mbox{P}$ からそれぞれの円への接線の長さが等しいことから $\mbox{PA}=\mbox{PB}=\mbox{PC}$ が成立し，よって $\mbox{P}$ は $\mbox{AB}$ の中点であり， $\triangle\mbox{ABC}$ の外心となる．よって $\mbox{ACB}$ は $\angle\mbox{ACB}=90^{\circ}$ の直角三角形である．

半径 $R$ の円の中心を $\mbox{X}$ ，半径 $r$ の円の中心を $\mbox{Y}$ とおくと $\mbox{PX}$ ， $\mbox{PY}$ はそれぞれ $\angle\mbox{APC}$ ， $\angle\mbox{BPC}$ の二等分線であるから $\angle\mbox{XPY}=90^{\circ}$ であり， $\mbox{XY}\perp\mbox{CP}$ から $\mbox{CP}=\sqrt{rR}$ となる．

また， $\angle\mbox{AXC}=180^{\circ}-\angle\mbox{ADC}$ $=\angle\mbox{CDB}$ であり， $\mbox{XA}=\mbox{XC}$ ， $\mbox{DC}=\mbox{DB}$ であるから $\triangle\mbox{AXC}$ ∽ $\triangle\mbox{CDB}$ となり， $\mbox{AC}:\mbox{CB}=R:\sqrt{Rr}=\sqrt{R}:\sqrt{r}$ となる．

よって $\mbox{ACB}$ は $\angle\mbox{ACB}=90^{\circ}$ の直角三角形であることから
$\mbox{AC}:\mbox{CB}:\mbox{BA}=\sqrt{R}:\sqrt{r}:\sqrt{\sqrt{R}^2+\sqrt{r}^2}=\sqrt{R}:\sqrt{r}:\sqrt{R+r}$ となる．