1950年(昭和25年)京都大学(新制)-数学(幾何)[4]

[4] ， は三角形 の底辺 を同じ比に内分，外分する点であり， は直角であるとする．このとき ， は の内角，外角の二等分線であることを証明せよ．

[解答]
が を に内分するとし，，つまり が に対して と反対側にあるとして一般性を失わない．実際， のときは が に対して と反対側にできるが，この場合は と の役割を逆にすれば良いからである．

さて， を通り に平行な直線と ， の交点をそれぞれ ， とすると ， であるから が成立し， は の中点である．

ここで であるから直角三角形 の斜辺 の中点は の外心であり，よって が成立し， から は の内角の二等分線となり， から は の外角の二等分線となる．

[別解]
内分，外分比を とし，， としたときに，，（）となった（）とすると
…①，…②，…③，…④
が成立する．②③から ， であるから直線 の傾きは となり，直線 の傾きの 倍となるので， は の内角の二等分線となり， は の外角の二等分線となる．